BAB 6 DISTRIBUSI NORMAL, T DAN F

BAB 6 DISTRIBUSI NORMAL, T DAN F

A. Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal

Distribusi probabilitas normal dan kurva normal telah dikembangkan oleh DeMoivre (1733) dan Gauss (1777 – 1855) dengan menurunkan persamaan matematis dan kurva normalnya. Oleh sebab itu, kurva normal sering juga disebut kurva Gauss.

Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva normal adalah:

1. Kurva berbentuk genta atau lonceng dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah. Nilai rata-rata hitung (µ) = median (Md) = modus (Mo). Nilai µ = Md = Mo yang berada di tengah membelah kurva menjadi dua bagian yaitu setengah di bawah nilai µ = Md = Mo dan setengah di atas nilai µ = Md = Mo.
2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya (µ).
3. Distribusi probabilitas dan kurva normal bersifat asimptotis.
4. Kurva mencapai puncak pada saat X = µ.
5. Luas daerah di bawah kurva normal adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah μ, dan standar deviasi σ, maka persamaan kurva normalnya adalah:

B. Jenis-jenis Distribusi Probabilitas Normal

• Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ dan σ Berbeda 

Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan nilai tengah sama dan standar deviasi yang berbeda, adalah bentuk leptokurtic, platykurtik dan mesokurtik. Kurva normal tersebut mempunyai μ = Md = Mo yang sama, namun mempunyai σ berbeda. Semakin besar σ, maka kurva semakin pendek dan semakin tinggi nilai σ, maka semakin runcing. Oleh sebab itu, σ tinggi cenderung menjadi platykurtik dan σ rendah menjadi leptokurtik. Nilai σ yang tinggi menunjukkan bahwa nilai data semakin menyebar dari nilai tengahnya (μ). Apabila σ rendah, maka nilai semakin mengelompok pada nilai tengahnya.

• Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ Berbeda dan σ Sama

Bentuk distribusi probabilitas dan kurva normal dengan μ berbeda dan σ sama mempunyai jarak antara kurva yang berbeda, namun bentuk kurva tetap sama. Hal demikian bisa terjadi karena kemampuan antar populasi berbeda, namun setiap populasi mempunyai keragaman yang hampir sama.

• Distribusi Probabilitas dan Kurva Normal dengan μ dan σ Berbeda

Distribusi kurva normal dengan μ dan σ berbeda. Kurva ini mempunyai titik pusat yang berbeda pada sumbu mendatar dan bentuk kurva berbeda karena mempunyai standar deviasi yang berbeda.

 

C. Distribusi Probabilitas Normal Baku

• Distribusi normal baku adalah distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1.
• Seringkali disebut dengan distribusi z.
• Hal yang perlu dilakukan dalam rangka distribusi probabilitas normal baku adalah mengubah atau membakukan distribusi aktual dalam bentuk distribusi norma baku yang dikenal dengan nilai Z atau skor Z
• Nilai Z adalah jarak yang berbeda antara sebuah nilai X yang dipilih dari ratarata μ, dibagi dengan standar deviasinya, σ.

Rumus nilai Z adalah :

Z = Skor Z atau nilai normal baku
X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran
μ= Nilai rata-rata hitung suatu distribusi

σ= Standar deviasi

Contoh Soal:

Rata-rata berat sebuah kotak adalah 283 gram dan standar deviasinya 1,6 gram. Berapakah probabilitas sebuah kotak dibawah 284,5 gram ?

Transformasi dari X ke Z

Bila nilai X berada di antara X = x1 dan X = x2, maka variabel acak Z akan berada di antara nilai:

Transformasi ini juga mempertahankan luas di bawah kurvanya, artinya:

Contoh Soal: 

Misalkan kita memilih 20 saham pada bulan Mei 2007. Harga saham ke-20 perusahaan tersebut berkisar antara Rp. 2.000 – 2.805 per lembarnya. Berapa probabilitas harga saham antara Rp. 2.500 sampai 2.805 per lembarnya. Diketahui μ = 2.500 sebagai nilai rata-rata hitung dan standar deviasinya 400.

Z   =   (X – μ) / σ
Z1  =   (2.500 – 2500) / 400
Z1  =   0 / 400 = 0
Z2   = (2.805 – 2.805) / 400
Z2   = 0.76

D. Luas Daerah Di Bawah Kurva Normal

Kurva setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga luas di bawah kurva di antara kedua ordinat x = x1 dan x = x2 sama dengan peluang acak X mendapatkan harga antara x = x1 dan x = x2. Luas di bawah kurva antara dua ordinat sembarang tergantung pada harga µ dan σ.

Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68,26% dari jumlah data.

Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0,76 atau biasa dituis P(0<Z<0,76)?

Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan = 0,2764

E. Penerapan Kurva Normal

Contoh Soal 1

PT GS mengklaim rata-rata berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.

Jawab:

Transformasi ke nilai z

  AP(x< 250);  P(x=250) = (250-350)/50=-2,00  Jadi P(x<250)=P(z<-2,00)

Lihat pada tabel luas di bawah kurva normal

  P(z<-2,00)=0,4772

Luas sebelah kiri nilai tengah adalah 0,5. Oleh sebab itu, nilai daerah yang diarsir menjadi 0,5 – 0,4772=0,0228. Jadi probabilitas di bawah 250 gram adalah 0,0228 (2,28%). Dengan kata lain probabilitas konsumen protes karena berat buah mangga kurang dari 250 gram adalah 2,28%.

Contoh Soal 2
PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu  yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya!

Jawab:
P(800<X<1.000)?

Hitung nilai Z

Z1 = (800-900)/50 = -2,00;
Z2 = (1.000-900)/50 = 2,00

Jadi: P(800<X<1.000) =P(-2,00<Z<2,00);

P(-2,00<Z) = 0,4772 dan  P(Z>2,00)  = 0,4772
Sehingga luas daerah yang diarsir adalah = 0,4772+0,4772= 0,9544. Jadi P(800<X<1.000) = P(-2,00 < Z<2,00) = 0,9544.
Jadi 95,44% produksi berada pada kisaran 800-1.000 jam. Jadi jika PT Work Electric mengklaim bahwa lampu bohlamnya menyala 800-1.000 jam, mempunyai probabilitas benar 95,44%, sedang sisanya 4,56% harus dipersiapkan untuk garansi.

F. Pendekatan Normal Terhadap Binominal
Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar.











Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah μ = np dan standar deviasi σ = √npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah:

di mana n >>>> ¥ dan nilai p mendekati 0,5

Faktor Koreksi Kontinuitas
Nilai koreksi kontinuitas adalah sebesar 0,5 yang dikurangkan dan ditambahkan pada data yang diamati. Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal, memerlukan faktor koreksi, selain syarat binomial terpenuhi: (a) hanya ada dua peristiwa, (b) peristiwa bersifat independen; (c) besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan, (d) data merupakan hasil penghitungan. Menggunakan faktor koreksi yang besarnya 0,5.
Contoh Soal:
Adi merupakan pedagang buah di Tangerang. Setiap hari ia membeli 300 kg buah di Pasar Induk Kramat Jati, Jakarta Timur. Probabilitas buah tersebut laku dijual dalah 80% dan 20% kemungkinan tidak laku dan busuk. Berapa probabilitas buah sebanyak 250 kg laku dan tidak busuk ?
Jawab:
n = 300; probabilitas laku p = 0.8, dan q = 1 – 0.8 = 0.2

μ  = np = 300 x 0.80 = 240

σ = √npq = √300 x 0.80 x 0.20  = 6.93
Diketahui X = 250, dan dikurangi faktor koreksi 0.5 sehingga X = 250 – 0.5 = 249.5
Dengan demikian nilai Z menjadi:
Z = (249.5 – 240) / 6.93 = 1.37 dan P (Z<1.37) = 0.4147
Jadi probabilitas laku adalah 0.5 + 0.4147 = 0.9147
Dengan kata lain harapan buah laku 250 kg adalah 91.47%


Daftar Pustaka:
Suharyadi, & Purwanto S. K. (2007). Statistika: Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Edisi 2. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.
http://tekdig2011.blogspot.com/2012/05/distribusi-normal.html
http://blog.ub.ac.id/adiarsa/tag/macam-distribusi/
http://asmauna.wordpress.com/tag/binomial/
http://mrfree793.blogspot.com/2012/06/distribusi-normal.html

BAB 5 MOMEN, KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

BAB 5

 MOMEN, KEMIRINGAN DAN KURTOSIS

A.   Momen

             Misal diketahui variabel  X dengan harga X1, X2, X3 . . . .   Xn. Jika A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,      maka momen di sekitar A disingkat m’rdidefinisikan oleh

Dengan 

 Untuk menghitung momen disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:

TABLE  5.1: Table pembantu untuk mencari m

Data	f1	Ci	f1Ci	f1C12	f1C13	f1C14
60 – 63 64 – 67 68 – 71 72 – 75 76 – 70	5 18 42 27 8	-2 -1 0 1 2	-10 -18 0 27 16	20 18 0 37 42	-40 -18 0 27 64	80 18 0 27 128
Jumlah	100		15	97	35	253

Dapat dihitung :

Jadi Varian S² = m₂ = 15,16

B.   Kemiringan

Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakanmesokurtik,

kurva yang runcing dinamakan leptokurtik sedangkan yang datar disebutplatikurtik.

Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a₄, ditentukan dengan rumus a₄ = (m₄/m)

Kriteria yang didapat dari rumus ini ialah:

 

a) a₄ = 3    à        Distribusi normal

b) a₄ > 3    à        Distribusi yagn leptokurtik

c) a₄ < 3     à        Distribusi yang platikurtik

Untuk mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula dipakai koefisien kurtosis persentil, diberi simbul:

  

Dimana K1 dan K3 telah kita hitung; K1 = 81,676 dan K3 = 61,75, adapun datanya telah disusun dalam daftar sebagai berikut:

No	Nilai Ujian	Fi
1 2 3 4 5 6 7	31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	3 5 10 16 24 17 5
	Jumlah	80

TUGAS STATISTIKA BAB 4 PENGUKURAN PENYIMPANGAN

BAB 4 PENGUKURAN PENYIMPANGAN 

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi  rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Ada bebarapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

Macam-macam ukuran penyimpangan data adalah :

1. Jangkauan (range)
2. Simpangan rata-rata (mean deviation)
3. Simpangan baku (standard deviation)
4. Varians (variance)
5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

1. Jangkauan (range)

Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi. Adapun rumusnya adalah

Contoh : 
Berikut ini nilai ujian semester dari 3 mahasiswa
A = 60 55 70 65 50 80 40
B = 50 55 60 65 70 65 55
C = 60 60 60 60 60 60 60
Dari data diatas dapat diketahui bahwa
A = memiliki Xmax=80, Xmin= 40 , R = 40 , meanya 60
B = memiliki Xmax=70, Xmin= 50 , R = 20 , meanya 60
C = memiliki Xmax=60, Xmin= 60 , R = 0 , meanya 60
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :
a. Semakin kecil rangenya maka semakin homogen distribusinya
b. Semakin besar rangenya maka semakin heterogen distribusinya
c. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representatif
d. Semakin besar rangenya maka meannya semakin kurang representatif
2. Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

• Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

• Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

dimana xi merupakan nilai data

• Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)

dimana xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i dan fi merupakan frekuensi interval ke-i

Contoh :
Dari tabel diperoleh 


3. Simpangan Baku (standard deviation)

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean.

Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. SD tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. SD berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal

• untuk data sample menggunakan rumus

• untuk data populasi menggunkan rumus

Contoh :
Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?

Jawab
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata-ratanya
rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 869/10 = 85,9

Kita masukkan ke rumus

Rumus Simpangan Baku Untuk Data Kelompok

• untuk sample menggunakan rumus

• untuk populasi menggunakan rumus

Contoh :
Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut

hitunglah berapa simpangan bakunya
1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut

2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku

4. Varians (variance)

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel.

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk populasi

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk sampel

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk populasi

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk sampel

Keterangan:
σ² = varians atau ragam untuk populasi
S² = varians atau ragam untuk sampel
f_i = Frekuensi
x_i = Titik tengah
x¯ = Rata-rata (mean) sampel dan   μ = rata-rata populasi
n =  Jumlah data

5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut.

Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase.

Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data. Jadi jika koefisien variasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.

Daftas Pustaka :

Suharyadi, & Purwanto. (2009). In Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Jakarta: Salemba Empat.

Sudjana. (1991). In Statistika. Bandung: Tarsito.
http://www.smartstat.info/statistika/statisika-deskriptif/ukuran-penyebaran-measures-of-dispersion.html
http://rumushitung.com/2013/04/05/rumus-simpangan-baku/
http://digensia.wordpress.com/2012/03/15/statistik-deskriptif/
http://okemath.com/?page_id=394

Tugas Statistika Bab 3 Ukuran Pemusatan

BAB 3 UKURAN PEMUSATAN

Ukuran Pemusatan adalah suatu ukuran yang digunakan untuk mengetahui kumpulan data mengenai sampel atau populasi yang disajikan dalam tabel atau diagram.

1. Ukuran gejala pusat adalah suatu ukuran yang digunakan untuk mengetahui kumpulan data mengenai sampel atau populasi yang
disajikan dalam tabel dan diagram, yang dapat mewakili sampel atau populasi. Ada beberapa macam ukuran tendensi sentral, yaitu rata-rata (mean), median, modus, kuartil, desil dan persentil.

2. Gejala pusat sebagai nilai rata-rata yang mempunyai kecenderungan memusat, sehingga sering disebut ukuran kecenderungan memusat (measures of central tendency). Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan adalah rata-rata hitung (arithmetic mean atau sering disingkat mean saja), lalu rata-rata ukur (geometric mean), kemudian rata-rata harmonis (harmonic mean). Dan umumnya terdapat istilah mean ,median, dan modus.

3. Gejala pusat pada hakekatnya menganggap rata-rata (average) dapat merupakan nilai yang cukup representatif bagi penggambaran nilai-nilai yang terdapat dalam data yang bersangkutan. Rata-rata sedemikian itu dapat dianggap sebagai nilai sentral dan dapat digunakan sebagai pengukuran lokasi sebuah distribusi frekuensi. Statistik mengenal bermacam-macam rata-rata dengan nama-nama yang khas, yaitu rata-rata hitung (mean), median, modus, rata-rata ukur dan rata-rata harmonis itu semua merupakan jenis rata-rata yang lazim digunakan sebagai pengukuran lokasi atau pengukuran tendensi sentral (central tendency) dari sebuah distribusi.

B. Macam-macam Ukuran Gejala Pusat

MEAN

1. Rata-rata hitung / Mean
Dalam kegiatan penelitian, rata-rata(mean) mempunyai kedudukan yang penting dibandingkan ukuran gejala pusat lainnya. Hampir setiap kegiatan penelitian ilmiah selalu menggunakan rata-rata (mean).
Adapun cara untuk mencari mean dibedakan berdasarkan jenis penyajian data
a. Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi = data ke-i dan n = jumlah data

Contoh :
Nilai Statistik dari 10 mahasiswa STMIK adalah sebagai berikut :
8 6 6 7 8 7 7 8 6 6
jadi meannya adalah 

b. Data tunggal sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu

Maka

dengan xi merupakan nilai data

c. Data kelompok (dalam distribusi frekuensi)
Cara mencari mean data kelompok ada dua , yaitu cara panjang dan cara pendek (sandi).
a) Cara panjang

dengan xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i
dan f merupakan frekuensi interval ke-i

b) Cara pendek / sandi
Adapun langkah- langkanya adalah sebagai berikut :
1. Ambil sembarang tanda kelas ( biasanya yang letaknya ditengah) , misalnya x0
2. Hitung ci dengan rumus

dimana p merupakan panjang interval

3. Rumusan mean dengan cara pendek

Contoh diperoleh rata-rata sebagai berikut :
a. Cara panjang

Berdasarkan persamaan pada cara panjang diperoleh rata-rata hitung dari data tersebut adalah

b. Cara pendek / sandi
Diambil x0 = 63,5 (tanda kelas ke-4) dan diketahui p = 8, maka diperoleh
Berdasarkan persamaan pada cara pendek/sandi diperoleh rata- rata hitung

2. Rata-rata Tertimbang

Rata-rata tertimbang adalah rata-rata yang memperhitungkan frekuensi dari tiap-tiap nilai variabel. Rumus untuk rata-rata ini adalah :

Contoh :

Jika 5 mahasiswa mendapat nilai 70 : 6 mahasiswa mendapat 69 : 3 mahasiswa mendapat nilai 45 : 1 seorang mahasiswa mendapat nilai 80 : 1 dan seorang lagi mendapat nilai 56 untuk data tersebut sebaliknya ditulis sebagai berikut :

Pada nilai rata-rata ujian tersebut untuk ke-16 mahasiswa itu ialah :

3. Rata-rata Gabungan

Rata-rata gabungan, yaitu rata-rata dari beberapa sampel lalu disajikan satu. Rata-rata gabungan adalah cara yang tepat untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel.

Contoh :
Tiga sub sampel masing-masing berukuran 10, 6, 8 dan rata-ratanya 145, 118, dan 162. Berapa rata-ratanya?
Jawab

MODUS (Mo)
Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi paling banyak. Modus tidak harus tunggal,artinya nilainya bisa lebih dari satu. Adapun cara mencari modus untuk data tunggal tinggal dilihat frekuensinya. Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, modus ditentukan dengan rumus :

dengan
b = batas bawah kelas modus yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak
p = panjang interval kelas modus
b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelum kelas modus
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudah kelas modus
Jika rumus di atas digunakan untuk mencari modus dari tabel di bawah ini

Maka diperoleh :
a. kelas modus = kelas ke-4
b. b = 59,5
c. b1 = 15 – 6 = 9
d. b2 = 15 – 13 = 2
e. p = 8

MEDIAN (Me)
Median adalah suatu nilai yang membagi distribusi data menjadi dua bagian yang sama besar atau suatu nilai yang menbagi 50% frekuensi bagian atas dan 50% frekuensi bagian bawah, sehingga frekuensi yang terdapat di atas sama dengan frekuensi yang trdapat di bawah. Oleh karena itu median dari sejumlah data tergantung pada frekuensinya bukan variasi nilai- nilainya.
Adapun cara mencari median, antara lain :

a. Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu
Sebelum dihitung mediannya, data diurutkan lebih dulu dari data yang terkecil ke yang terbesar. Rumusan median untuk data tunggal dibedakan jadi dua, yaitu :

Contoh
1. Untuk contoh tabel sebelumnya dengan data 8 6 6 7 8 7 7 8 6 6.
Setelah data diurutkan diperoleh 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8. Jumlah data genap sehingga untuk mencari median digunakan rumus di atas dan diperoleh

2. Diketahui data sebagai berikut.

Tentukan median dari data di atas!

Untuk data di atas diketahui n ganjil, sehingga untuk mencari median digunakan rumus pertama dan diperoleh :

b. Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)
Untuk data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi, median dihitung dengan rumus :

dengan
b = batas bawah kelas median
p = panjang kelas median
n = jumlah data
F = jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median

Contoh
Dari tabel sebelumnya diperoleh kelas median terletak pada interval ke-4, sehingga diperoleh b = 59,5 ; p = 8; n = 50 ; F = 15 dan f = 15 akibatnya

C. Kelebihan dan Kekurangan Rata-rata, Median dan Modus
Rata-rata
Kelebihan

1. Rata-rata lebih populer dan lebih mudah digunakan.
2. Dalam satu set data, rata-rata selalu ada dan hanya ada satu rata-rata.
3. Dalam penghitungannya selalu mempertimbangkan semua nilai data.
4. Tidak peka terhadap penambahan jumlah data.
5. Variasinya paling stabil.
6. Cocok digunakan untuk data yang homogen.

Kelemahan

1. Sangat peka terhadap data ekstrim. Jika data ekstrimnya banyak, rata-rata menjadi kurang mewakili (representatif).
2. Tidak dapat digunakan untuk data kualitatif.
3. Tidak cocok untuk data heterogen.

Median
Kelebihan

1. Tidak dipengaruhi oleh data ekstrim.
2. Dapat digunakan untuk data kualitatif maupun kuantitatif.
3. Cocok untuk data heterogen.

Kelemahan

1. Tidak mempertimbangkan semua nilai data.
2. Kurang menggambarkan rata-rata populasi.
3. Peka terhadap penambahan jumlah data.

Modus
Kelebihan

1. Tidak dipengaruhi oleh data ekstrim.
2. Cocok digunakan untuk data kuantitatif maupun kualitatif.

Kelemahan

1. Modus tidak selalu ada dalam satu set data.
2. Kadang dalam satu set data terdapat dua atau lebih modus. Jika hal itu terjadi modus menjadi sulit digunakan.
3. Kurang mempertimbangkan semua nilai.
4. Peka terhadap penambahan jumlah data.

D. Hubungan Antara Rata-rata Hitung (Mean), Median dan Modus

• Jika rata-rata, median dan modus memiliki nilai yang sama, maka nilai rata-rata, median dan modus akan terletak pada satu titik dalam kurva distribusi frekuensi. Kurva distribusi frekuensi tersebut akan terbentuk simetris.

• Jika rata-rata lebih besar dari median, dan median lebih besar dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kanan, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kiri. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kiri.

• Jika rata-rata lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kiri, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kanan. Kurva distribusi frekuensi akan terbentuk menceng ke kanan.

• Jika kurva distribusi frekuensi tidak simetris (menceng ke kiri atau ke kanan), maka biasanya akan berlaku hubungan antara rata-rata median dan modus sebagai berikut. Rata-rata – Modus = 3 (Rata-rata – Median)

Daftar Pustaka :

Suharyadi, & Purwanto. (2009). In Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Jakarta: Salemba Empat.
Sudjana. (1991). In Statistika. Bandung: Tarsito.

http://hadityasyafei.blogspot.com/2010/11/gejala-pusat-data-dikelompokan.html

http://localonsite.wordpress.com/2013/09/10/pengukuran-gejala-pusat-central-tendency/

http://materimatakuliah.wordpress.com/2012/10/29/statistika-bab-2/

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:7tuDy39rsbwJ:ansarisaleh.web.id/userfiles/statistika3.pdf+&cd=1&hl=en&ct=clnk